希腊值Delta和Gamma的解释

期权的风险要素通常通过希腊值来表示，delta和gamma是两个与标的价格有关的希腊值。

在传统的期权框架中，delta、gamma是根据期权定价的BS模型或者Black模型推导出来的，我们称之为BS delta、BS gamma。BS delta衡量的是期权价格相对于标的资产价格变动的变化率，BS gamma衡量的是BS delta相对于标的资产价格变动的变化率。

对于欧易OKX的BTCUSD期权合约，欧易OKX的delta和gamma与传统的不同，它们是根据期权定价Black模型推导、并且经过价格调整（Price-Adjusted）后的结果，我们称之为PA delta、PA gamma。BS delta和PA delta满足如下关系：

PA delta = BS delta – 期权标记价格（以BTC计）

PA delta衡量的是期权价格相对于标的资产价格变动幅度的变化率，PA gamma衡量的是PA delta相对于标的资产价格变动幅度的变化率。下面通过具体的计算案例进一步说明PA delta和BS delta的区别：

假设当前BTCUSD指数价格为7000 USD，某比特币期权的 BS delta=0.6，PA delta = 0.45，那么当BTCUSD上涨105 USD（即上涨1.5%）时，

根据BS delta计算，期权价格将上涨0.6* 105 =63 USD

根据PA delta计算，期权价格将上涨0.45* 1.5% = 0.00675 BTC

即，用BS delta估算期权价格变动时，使用的标的价格变动量是美元数(105 USD)；用PA delta估算期权价格变动时，使用的标的价格变动量是变动幅度(1.5%)。

同样可以通过一个计算案例，来说明PA gamma和BS gamma在使用时的区别：

假设当前BTCUSD指数价格为7000 USD，某比特币期权的BS gamma=0.0004，PA gamma = 2.9，那么当BTCUSD上涨105 USD（即上涨1.5%）时，

根据BS gamma计算，BS delta将上涨0.0004 * 105 = 0.042

根据PA gamma计算，PA delta将上涨2.9 * 1.5% = 0.0435

即，用BS gamma估算BS delta变动时，使用的标的资产价格变动量是美元数(105 USD)；用PA gamma估算PA delta变动时，使用的标的资产价格变动量是变动幅度(1.5%)。

1、欧易OKX采用PA delta的原因

欧易OKX的delta和gamma计算方式与传统BS delta和gamma不同的根本原因在于，欧易OKX的BTCUSD币本位期权合约不是以USD，而是以BTC作为保证金和交割结算的货币。如果继续以BS delta和BS gamma展示期权的风险，客户在计算对冲头寸时（例如以交割合约来对冲期权的delta风险），会算出错误的对冲比率，这一点在下面会给出对冲效果的实例。

假设当前BTCUSD指数为7000 USD，用户已有10张BTCUSD-200327-20000-P（2020年3月27日到期，执行价格为20000 USD的看跌期权）的买方持仓，想通过持有一些同到期日的交割合约头寸，来对冲delta风险至0。下面两张表给出了该期权合约和交割合约的相关信息。

PA delta对冲计算出来的交割合约张数为：

BS delta对冲计算出来的交割合约张数为 ：

其中，张数为正代表买入，张数为负代表卖出。分别形成两个delta对冲组合：

假设其他因素不变，当现货指数变动时，两个组合的盈亏状况 (PnL) 如下图所示：

由此看出，随着现货指数的变动，PA组合的盈亏基本为0，BS组合的盈亏则明显偏离0。也就是说，用BS delta计算出来的是错误的对冲头寸，用PA delta计算出来的才是正确的对冲头寸，根本原因是在币本位保证金期权合约的场景下，BS delta和BS gamma无法真实反映期权的风险，PA delta和PA gamma才更具有指导意义。

注：上述示例是在假设其他因素不变，只有标的指数发生变动的前提下，作出的计算和判断。实际场景中，组合的盈亏会受多种因素影响，例如波动率的变化也会导致盈亏变化。

2、PA delta的取值范围

看涨期权的BS delta取值范围是0～1，看跌期权的BS delta取值范围是-1～0，而PA delta的取值范围与之有所差别。两种delta可以通过一个关系式连结起来：

PA delta = BS delta – 期权标记价格（以BTC计）

根据该关系式，结合BS delta和期权标记价格的特征，可得到PA delta的取值范围。

【看涨期权PA delta范围是0~1】当标的价格增加时，看涨期权的价格随之增加，由PA delta的定义可知，PA delta一定大于0。进一步，由PA delta = BS delta–期权标记价格可知，PA delta等于BS delta减去一个正数（期权标记价格恒为正），从而PA delta的上限不会超过BS delta的上限1。

【看跌期权PA delta范围是负无穷～0】当标的价格增加时，看跌期权的价格随之降低，由PA delta的定义可知，PA delta一定小于0。当标的价格接近于0时，看跌期权的内在价值（以BTC计）无穷大，故期权标记价格无上限，而BS delta的上限为0，由PA delta = BS delta- 期权标记价格可知，看跌期权的PA delta可小于-1，极端情况下可至负无穷。

注：负无穷指的是非常小的负数，小于任意一个负数。

3、PA gamma的正负性

gamma衡量的是delta随标的价格变动的变化率：如果标的价格增加，delta值也增加，则gamma为正数；如果标的价格增加，delta值减小，则gamma为负数。即，gamma的正负与delta曲线的斜率有关。两种delta的曲线如下图所示：

可以看到：

在其他因素不变的条件下，看涨期权的PA delta随着标的价格的增加，先增加后减小，从而PA gamma随着标的价格的增加，先正后负；看涨期权的BS delta随着标的价格的增加而增加，从而看涨期权的BS gamma恒为正数。

在其他因素不变的条件下，看跌期权的PA delta和 BS delta都随标的价格的增加而增加，从而看跌期权的PA gamma和BS gamma都是正数。